CALCUL LITTÉRAL
5 générations
Résumé
CALCUL LITTÉRAL
Vidéos : Développement (https://youtu.be/gSa851JJn6c), Factorisation (https://youtu.be/kQGWtMOHbrA).
Parties 1 : Somme et produit
Vidéo : https://youtu.be/FTi9WOQsq3w
Exemples de sommes/différences : x - 3, (2x + 4) + 3x, (5x) - (9 + 9x), 3 + (2 + 3x)(x - 2).
Exemples de produits : (6x + 1) × (x - 1), 2 × (1 + 6x), x × (8 - x) × (2 + x), (3 + 8x) × (x – 8)².
Définitions : Développer équivaut à transformer un produit en somme ; Factoriser, l'inverse.
Partie 2 : Développement
1. Distributivité simple
Formule : a(b + c) = ab + ac.
Exemple : 6(x+5) = 6x + 30.
Vidéos méthode : https://youtu.be/S_ckQpWzmG8, https://youtu.be/URNId8xsXgM.
Développement :
A = 4(5 + x) = 20 + 4xB = 5(x - 2) = 5x - 10C = (4x + 6) × 3 = 12x + 18D = −6(-2x + 4) = 12x - 24E = -x(2 – 3x) = -2x + 3x²F = -(5 – x) = -5 + xRappel des signes :+*+ = +,-*- = +,+*- = -,-*+ = -.
2. Double-distributivité
Formule : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
Exemple : (2+5x)(x+4) = 2x + 8 + 5x² + 20x.
Vidéos méthode : https://youtu.be/1EPOmbvoAlU, https://youtu.be/YS-3Jl_z2f0, https://youtu.be/o6qVMmA30TQ.
Développement et réduction :
A = (2x + 3)(x + 8) = 2x² + 19x + 24B = (−3 + x)(4 – 5x) = -5x² + 19x – 12C = 2(3 + x)(3 – 2x) = -4x² - 6x + 18D = 2x(1 − x) − (x − 3)(3x + 2) = -5x² + 9x + 6
Partie 3 : Factorisation
Méthode (1) : Facteur commun simple
Vidéo : https://youtu.be/r3AzqvgLcl8. Identifier factoriser et réduire le facteur commun :
A = 3,5x - 4,2x + 2,1x = x(3,5 - 4,2 + 2,1) = 1,4xB = 4t - 5tx + 3t = t(4 - 5x + 3) = t(7 - 5x)C = 4x - 4y + 8 = 4(x - y + 2)D = x² + 3x - 5x² = x(x + 3 - 5x) = x(-4x + 3)E = 3t + 9u + 3 = 3(t + 3u + 1)F = 3x² - x = x(3x - 1)
Méthode (2) : Facteur commun apparent
Vidéo : https://youtu.be/UGTFELhE9Dw. Factorisation après réécriture si nécessaire.
A = 3(2 + 3x) - (5 + 2x)(2 + 3x): Facteur commun(2 + 3x)⟹(2+3x)(3−(5+2x))=(2+3x)(−2−2x).B = (2 – 5x)² - (2 – 5x)(1 + x): Facteur commun(2 - 5x)⟹(2−5x)((2−5x)−(1+x))=(2−5x)(1−6x).C = 5(1-2x) - (4 + 3x)(2x – 1): Modification :(2x – 1) = -(1 - 2x). Facteur commun(1 - 2x)⟹(1−2x)(5+(4+3x))=(1−2x)(9+3x).
Partie 4 : Identités remarquables
Propriétés : (a+b)2=a2+2ab+b2, (a−b)2=a2−2ab+b2, (a+b)(a−b)=a2−b2. Exemples de développement : (x+3)2=x2+6x+9; (x−5)2=x2−10x+25; (2x−1)(2x+1)=4x2−1.
1) Identités remarquables pour développer
Vidéos : https://youtu.be/U98Tk89SJ5M, https://youtu.be/7va96s4OfiM.
Développement :
A = (x + 3)² = x² + 6x + 9B = (3x - 4)² = 9x² - 24x + 16C = (x − 3)(x + 3) = x² − 9D = (2x + 3)(2x − 3) = 4x² − 9E = (4 – 3x)(3x + 4) = 16 – 9x²(car (4−3x)(4+3x))
Développement et réduction combinés :
A = (2x - 3)² + (x + 5)(3 - x) = 4x² - 12x + 9 + (-x² - 2x + 15) = 3x² - 14x + 24B = (x - 3)(x + 3) - (4 – 3x)² = (x² - 9) - (16 - 24x + 9x²) = -8x² + 24x - 25C = 2(x + 3) + (2x + 3)(2x – 3) = 2x + 6 + (4x² - 9) = 4x² + 2x - 3
2) Identités remarquables pour factoriser
Méthode (1) : Identifier a2, 2ab, b2. Vidéo : https://youtu.be/T9T4leYGEe4.
A = x² - 2x + 1 = (x - 1)²(2e IR, a=x,b=1)B = 4x² + 12x + 9 = (2x + 3)²(1re IR, a=2x,b=3)C = 9x² - 4 = (3x - 2)(3x + 2)(3e IR, a=3x,b=2)D = 25 + 16x² - 40x = (5 - 4x)²(2e IR, a=5,b=4x)E = 1 - 49x² = (1 - 7x)(1 + 7x)(3e IR, a=1,b=7x)
Méthode (2) : Facteur apparent utilisant les IR. Vidéos : https://youtu.be/nLRRUMRyfZg, https://youtu.be/tO4p9TzMrls.
A = (2x + 3)² – 64 = (2x + 3)² - 8²(3e IR) ⟹((2x+3)−8)((2x+3)+8)=(2x−5)(2x+11).B = 1 − (2 - 5x)² = 1² - (2 - 5x)²(3e IR) ⟹(1−(2−5x))(1+(2−5x))=(−1+5x)(3−5x).
# CALCUL LITTÉRAL Vidéos : Développement (`https://youtu.be/gSa851JJn6c`), Factorisation (`https://youtu.be/kQGWtMOHbrA`). ## Parties 1 : Somme et produit Vidéo : `https://youtu.be/FTi9WOQsq3w` Exemples de sommes/différences : `x - 3`, `(2x + 4) + 3x`, `(5x) - (9 + 9x)`, `3 + (2 + 3x)(x - 2)`. Exemples de produits : `(6x + 1) × (x - 1)`, `2 × (1 + 6x)`, `x × (8 - x) × (2 + x)`, `(3 + 8x) × (x – 8)²`. Définitions : Développer équivaut à transformer un produit en somme ; Factoriser, l'inverse. ## Partie 2 : Développement ### 1. Distributivité simple Formule : `a(b + c) = ab + ac`. Exemple : `6(x+5) = 6x + 30`. Vidéos méthode : `https://youtu.be/S_ckQpWzmG8`, `https://youtu.be/URNId8xsXgM`. Développement : * `A = 4(5 + x) = 20 + 4x` * `B = 5(x - 2) = 5x - 10` * `C = (4x + 6) × 3 = 12x + 18` * `D = −6(-2x + 4) = 12x - 24` * `E = -x(2 – 3x) = -2x + 3x²` * `F = -(5 – x) = -5 + x` Rappel des signes : `+*+ = +`, `-*- = +`, `+*- = -`, `-*+ = -`. ### 2. Double-distributivité Formule : `(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd`. Exemple : `(2+5x)(x+4) = 2x + 8 + 5x² + 20x`. Vidéos méthode : `https://youtu.be/1EPOmbvoAlU`, `https://youtu.be/YS-3Jl_z2f0`, `https://youtu.be/o6qVMmA30TQ`. Développement et réduction : * `A = (2x + 3)(x + 8) = 2x² + 19x + 24` * `B = (−3 + x)(4 – 5x) = -5x² + 19x – 12` * `C = 2(3 + x)(3 – 2x) = -4x² - 6x + 18` * `D = 2x(1 − x) − (x − 3)(3x + 2) = -5x² + 9x + 6` ## Partie 3 : Factorisation ### Méthode (1) : Facteur commun simple Vidéo : `https://youtu.be/r3AzqvgLcl8`. Identifier factoriser et réduire le facteur commun : * `A = 3,5x - 4,2x + 2,1x = x(3,5 - 4,2 + 2,1) = 1,4x` * `B = 4t - 5tx + 3t = t(4 - 5x + 3) = t(7 - 5x)` * `C = 4x - 4y + 8 = 4(x - y + 2)` * `D = x² + 3x - 5x² = x(x + 3 - 5x) = x(-4x + 3)` * `E = 3t + 9u + 3 = 3(t + 3u + 1)` * `F = 3x² - x = x(3x - 1)` ### Méthode (2) : Facteur commun apparent Vidéo : `https://youtu.be/UGTFELhE9Dw`. Factorisation après réécriture si nécessaire. * `A = 3(2 + 3x) - (5 + 2x)(2 + 3x)` : Facteur commun `(2 + 3x)` $\implies (2 + 3x)(3 - (5 + 2x)) = (2 + 3x)(-2 - 2x)$. * `B = (2 – 5x)² - (2 – 5x)(1 + x)` : Facteur commun `(2 - 5x)` $\implies (2 - 5x)((2 - 5x) - (1 + x)) = (2 - 5x)(1 - 6x)$. * `C = 5(1-2x) - (4 + 3x)(2x – 1)` : Modification : `(2x – 1) = -(1 - 2x)`. Facteur commun `(1 - 2x)` $\implies (1 - 2x)(5 + (4 + 3x)) = (1 - 2x)(9 + 3x)$. ## Partie 4 : Identités remarquables Propriétés : $(a + b)² = a² + 2ab + b²$, $(a-b)² = a² - 2ab + b²$, $(a + b)(a - b) = a² - b²$. Exemples de développement : $(x + 3)² = x² + 6x + 9$; $(x - 5)² = x² - 10x + 25$; $(2x - 1)(2x + 1) = 4x² - 1$. ### 1) Identités remarquables pour développer Vidéos : `https://youtu.be/U98Tk89SJ5M`, `https://youtu.be/7va96s4OfiM`. Développement : * `A = (x + 3)² = x² + 6x + 9` * `B = (3x - 4)² = 9x² - 24x + 16` * `C = (x − 3)(x + 3) = x² − 9` * `D = (2x + 3)(2x − 3) = 4x² − 9` * `E = (4 – 3x)(3x + 4) = 16 – 9x²` (car $(4-3x)(4+3x)$) Développement et réduction combinés : * `A = (2x - 3)² + (x + 5)(3 - x) = 4x² - 12x + 9 + (-x² - 2x + 15) = 3x² - 14x + 24` * `B = (x - 3)(x + 3) - (4 – 3x)² = (x² - 9) - (16 - 24x + 9x²) = -8x² + 24x - 25` * `C = 2(x + 3) + (2x + 3)(2x – 3) = 2x + 6 + (4x² - 9) = 4x² + 2x - 3` ### 2) Identités remarquables pour factoriser Méthode (1) : Identifier $a^2$, $2ab$, $b^2$. Vidéo : `https://youtu.be/T9T4leYGEe4`. * `A = x² - 2x + 1 = (x - 1)²` (2e IR, $a = x, b = 1$) * `B = 4x² + 12x + 9 = (2x + 3)²` (1re IR, $a = 2x, b = 3$) * `C = 9x² - 4 = (3x - 2)(3x + 2)` (3e IR, $a = 3x, b = 2$) * `D = 25 + 16x² - 40x = (5 - 4x)²` (2e IR, $a = 5, b = 4x$) * `E = 1 - 49x² = (1 - 7x)(1 + 7x)` (3e IR, $a = 1, b = 7x$) Méthode (2) : Facteur apparent utilisant les IR. Vidéos : `https://youtu.be/nLRRUMRyfZg`, `https://youtu.be/tO4p9TzMrls`. * `A = (2x + 3)² – 64 = (2x + 3)² - 8²` (3e IR) $\implies ((2x + 3) - 8)((2x + 3) + 8) = (2x - 5)(2x + 11)$. * `B = 1 − (2 - 5x)² = 1² - (2 - 5x)²` (3e IR) $\implies (1 - (2 - 5x))(1 + (2 - 5x)) = (-1 + 5x)(3 - 5x)$.
# **Calcul Littéral** **📅 Date** : Aujourd'hui **Titre du Cours** : Développement et Factorisation **👨🏫 Intervenant** : Non précisé --- ## 📝 **Notes de Cours** ### **1. Somme et Produit** - **Définitions** : - **Développer** : Transformer un **produit** en **somme**. - **Factoriser** : Opération inverse (somme → produit). - **Exemples** : - **Sommes/Différences** : `x - 3`, `(2x + 4) + 3x`, `(5x) - (9 + 9x)`. - **Produits** : `(6x + 1)(x - 1)`, `2(1 + 6x)`, `x(8 - x)(2 + x)`. --- ### **2. Développement** #### **2.1 Distributivité Simple** - **Formule** : `a(b + c) = ab + ac`. - **Règles des signes** : - `+ × + = +` - `- × - = +` - `+ × - = -` - `- × + = -` - **Exemples** : - `A = 4(5 + x) = 20 + 4x` - `B = 5(x - 2) = 5x - 10` - `C = -x(2 - 3x) = -2x + 3x²` - `D = -(5 - x) = -5 + x` #### **2.2 Double-Distributivité** - **Formule** : `(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd`. - **Exemples** : - `A = (2x + 3)(x + 8) = 2x² + 19x + 24` - `B = (-3 + x)(4 - 5x) = -5x² + 19x - 12` - `C = 2(3 + x)(3 - 2x) = -4x² - 6x + 18` --- ### **3. Factorisation** #### **3.1 Facteur Commun Simple** - **Méthode** : Identifier et extraire le facteur commun. - **Exemples** : - `A = 3,5x - 4,2x + 2,1x = 1,4x` - `B = 4t - 5tx + 3t = t(7 - 5x)` - `C = 4x - 4y + 8 = 4(x - y + 2)` #### **3.2 Facteur Commun Apparent** - **Méthode** : Réécrire si nécessaire pour faire apparaître le facteur commun. - **Exemples** : - `A = 3(2 + 3x) - (5 + 2x)(2 + 3x) = (2 + 3x)(-2 - 2x)` - `B = (2 - 5x)² - (2 - 5x)(1 + x) = (2 - 5x)(1 - 6x)` - `C = 5(1 - 2x) - (4 + 3x)(2x - 1) = (1 - 2x)(9 + 3x)` *(car `(2x - 1) = -(1 - 2x)`)* --- ### **4. Identités Remarquables** #### **4.1 Propriétés** - **Formules** : - $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ - $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ - $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ #### **4.2 Développement avec IR** - **Exemples** : - `A = (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9` - `B = (3x - 4)^2 = 9x^2 - 24x + 16` - `C = (x - 3)(x + 3) = x^2 - 9` - **Combinaison avec réduction** : - `A = (2x - 3)^2 + (x + 5)(3 - x) = 3x^2 - 14x + 24` #### **4.3 Factorisation avec IR** - **Méthode 1** : Identifier `a² ± 2ab + b²` ou `a² - b²`. - **Exemples** : - `A = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2` - `B = 4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2` - `C = 9x^2 - 4 = (3x - 2)(3x + 2)` - **Méthode 2** : Utiliser les IR avec facteur apparent. - **Exemples** : - `A = (2x + 3)^2 - 64 = (2x - 5)(2x + 11)` - `B = 1 - (2 - 5x)^2 = (-1 + 5x)(3 - 5x)` --- ## 🧠 **Zone de Révision** ### **🔑 Mots-Clés / Concepts** - Développement, factorisation, **distributivité simple/double**, **identités remarquables**. - **Formules clés** : `a(b + c) = ab + ac`, `(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd`, $(a ± b)^2$, $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$. - **Règles des signes** : `+ × - = -`, `- × - = +`. ### **❓ Quiz d'Auto-Évaluation** 1. Développer : `(3x - 2)(x + 4)`. 2. Factoriser : `x² - 6x + 9`. 3. Quelle est l'identité remarquable utilisée pour développer `(5 - 2x)²` ? 4. Factoriser : `4x² - 25`. 5. Développer et réduire : `2(x - 3) + (x + 1)(x - 1)`. --- ## 💡 **Résumé Synthétique** Le calcul littéral repose sur deux opérations clés : **développer** (produit → somme) et **factoriser** (somme → produit). La **distributivité** (simple ou double) et les **identités remarquables** sont des outils fondamentaux pour manipuler les expressions algébriques. La maîtrise des **règles des signes** et la reconnaissance des **facteurs communs** ou des **formes remarquables** permettent de simplifier et résoudre des équations complexes. Ces techniques sont essentielles pour aborder l'algèbre avancée et les résolutions d'équations.
# 🧮 **Fiche de Révision : Calcul Littéral (Développement & Factorisation)**
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## 🔤 **1. Définitions Fondamentales**
**Quelle est la différence entre une *somme* et un *produit* en calcul littéral ?**
- **Somme/Différence** : Résultat d'une **addition** ou **soustraction**.
*Exemples* :
- $x - 3$
- $(2x + 4) + 3x$
- $(5x) - (9 + 9x)$
- **Produit** : Résultat d'une **multiplication**.
*Exemples* :
- $(6x + 1) \times (x - 1)$
- $2 \times (1 + 6x)$
**💡 Astuce** :
- **Développer** = Transformer un **produit** en **somme**.
- **Factoriser** = Transformer une **somme** en **produit** (opération inverse).
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## ⚙️ **2. Développement**
### 🔹 **2.1 Distributivité Simple**
**Quelle est la formule de la distributivité simple ?**
$$a(b + c) = ab + ac$$
**Comment appliquer cette formule ?**
- Multiplier **chaque terme** à l'intérieur des parenthèses par le facteur extérieur.
- **Règle des signes** :
| Opération | Résultat |
|-----------|----------|
| $+ \times +$ | $+$ |
| $- \times -$ | $+$ |
| $+ \times -$ | $-$ |
| $- \times +$ | $-$ |
**Exemples** :
- $A = 4(5 + x) = \mathbf{20} + \mathbf{4x}$
- $B = 5(x - 2) = \mathbf{5x} - \mathbf{10}$
- $C = (4x + 6) \times 3 = \mathbf{12x} + \mathbf{18}$
- $D = -6(-2x + 4) = \mathbf{12x} - \mathbf{24}$
- $E = -x(2 - 3x) = -2x + \mathbf{3x^2}$
- $F = -(5 - x) = -5 + \mathbf{x}$
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### 🔹 **2.2 Double-Distributivité**
**Quelle est la formule de la double-distributivité ?**
$$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$$
**Comment l'appliquer ?**
1. Multiplier **chaque terme** de la première parenthèse par **chaque terme** de la seconde.
2. **Réduire** l'expression obtenue.
**Exemples** :
- $A = (2x + 3)(x + 8) = \mathbf{2x^2} + 19x + 24$
- $B = (-3 + x)(4 - 5x) = -5x^2 + \mathbf{19x} - 12$
- $C = 2(3 + x)(3 - 2x) = -4x^2 - 6x + \mathbf{18}$
- $D = 2x(1 - x) - (x - 3)(3x + 2) = -5x^2 + \mathbf{9x} + 6$
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## 🔄 **3. Factorisation**
### 🔹 **3.1 Facteur Commun Simple**
**Comment identifier un facteur commun ?**
- Chercher un **terme répété** dans chaque partie de l'expression.
- Le **mettre en évidence** devant une parenthèse.
**Exemples** :
- $A = 3,5x - 4,2x + 2,1x = x(3,5 - 4,2 + 2,1) = \mathbf{1,4x}$
- $B = 4t - 5tx + 3t = t(4 - 5x + 3) = t(7 - \mathbf{5x})$
- $C = 4x - 4y + 8 = 4(x - y + \mathbf{2})$
- $D = x^2 + 3x - 5x^2 = x(x + 3 - 5x) = x(-4x + \mathbf{3})$
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### 🔹 **3.2 Facteur Commun Apparent**
**Comment factoriser si le facteur commun n'est pas évident ?**
1. **Réécrire** l'expression pour faire apparaître le facteur commun.
2. **Factoriser** comme en 3.1.
**Exemples** :
- $A = 3(2 + 3x) - (5 + 2x)(2 + 3x) = (2 + 3x)(3 - (5 + 2x)) = (2 + 3x)(-2 - \mathbf{2x})$
- $B = (2 - 5x)^2 - (2 - 5x)(1 + x) = (2 - 5x)((2 - 5x) - (1 + x)) = (2 - 5x)(1 - \mathbf{6x})$
- $C = 5(1 - 2x) - (4 + 3x)(2x - 1) = 5(1 - 2x) + (4 + 3x)(1 - 2x) = (1 - 2x)(9 + \mathbf{3x})$
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## 📚 **4. Identités Remarquables**
### 🔹 **4.1 Formules à Connaître**
| Identité | Formule |
|----------|---------|
| $(a + b)^2$ | $a^2 + 2ab + b^2$ |
| $(a - b)^2$ | $a^2 - 2ab + b^2$ |
| $(a + b)(a - b)$ | $a^2 - b^2$ |
**Exemples de développement** :
- $(x + 3)^2 = x^2 + \mathbf{6x} + 9$
- $(x - 5)^2 = x^2 - \mathbf{10x} + 25$
- $(2x - 1)(2x + 1) = 4x^2 - \mathbf{1}$
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### 🔹 **4.2 Développement avec Identités Remarquables**
**Exemples** :
- $A = (x + 3)^2 = x^2 + 6x + \mathbf{9}$
- $B = (3x - 4)^2 = 9x^2 - 24x + \mathbf{16}$
- $C = (x - 3)(x + 3) = x^2 - \mathbf{9}$
- $D = (2x + 3)(2x - 3) = 4x^2 - \mathbf{9}$
- $E = (4 - 3x)(3x + 4) = 16 - \mathbf{9x^2}$
**Exemples combinés** :
- $A = (2x - 3)^2 + (x + 5)(3 - x) = 4x^2 - 12x + 9 + (-x^2 - 2x + 15) = 3x^2 - 14x + \mathbf{24}$
- $B = (x - 3)(x + 3) - (4 - 3x)^2 = (x^2 - 9) - (16 - 24x + 9x^2) = -8x^2 + 24x - \mathbf{25}$
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### 🔹 **4.3 Factorisation avec Identités Remarquables**
**Méthode** :
1. Identifier **$a^2$**, **$2ab$**, **$b^2$** dans l'expression.
2. Appliquer la formule correspondante.
**Exemples** :
- $A = x^2 - 2x + 1 = (x - \mathbf{1})^2$ (2ᵉ IR)
- $B = 4x^2 + 12x + 9 = (2x + \mathbf{3})^2$ (1ʳᵉ IR)
- $C = 9x^2 - 4 = (3x - 2)(3x + \mathbf{2})$ (3ᵉ IR)
- $D = 25 + 16x^2 - 40x = (5 - \mathbf{4x})^2$ (2ᵉ IR)
**Cas avec facteur apparent** :
- $A = (2x + 3)^2 - 64 = (2x + 3)^2 - 8^2 = (2x - 5)(2x + \mathbf{11})$ (3ᵉ IR)
- $B = 1 - (2 - 5x)^2 = (1 - (2 - 5x))(1 + (2 - 5x)) = (-1 + 5x)(3 - \mathbf{5x})$ (3ᵉ IR)
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## 🧠 **Ancrage Mémoriel**
1. **Développer** = Passer d'un **produit** à une **somme** via la distributivité.
2. **Factoriser** = Passer d'une **somme** à un **produit** en trouvant un facteur commun.
3. **Identités remarquables** : 3 formules clés à retenir pour développer/factoriser rapidement.
4. **Règles des signes** : $- \times - = +$, $+ \times - = -$.
5. **Réduction** : Toujours simplifier l'expression finale.
```mermaid
flowchart TD
A[Calcul Littéral] --> B[Développement]
A --> C[Factorisation]
B --> D[Distributivité Simple]
B --> E[Double-Distributivité]
C --> F[Facteur Commun]
C --> G[Identités Remarquables]
```# Calcul littéral
## Somme et produit
- Définitions
- Développer : produit → somme
- Factoriser : somme → produit
- Exemples de sommes/différences
- `x - 3`
- `(2x + 4) + 3x`
- `(5x) - (9 + 9x)`
- `3 + (2 + 3x)(x - 2)`
- Exemples de produits
- `(6x + 1) × (x - 1)`
- `2 × (1 + 6x)`
- `x × (8 - x) × (2 + x)`
- `(3 + 8x) × (x – 8)²`
## Développement
### Distributivité simple
- Formule : `a(b + c) = ab + ac`
- Exemple : `6(x+5) = 6x + 30`
- Rappel des signes
- `+*+ = +`
- `-*- = +`
- `+*- = -`
- `-*+ = -`
- Exercices
- `A = 4(5 + x) = 20 + 4x`
- `B = 5(x - 2) = 5x - 10`
- `C = (4x + 6) × 3 = 12x + 18`
- `D = −6(-2x + 4) = 12x - 24`
- `E = -x(2 – 3x) = -2x + 3x²`
- `F = -(5 – x) = -5 + x`
### Double-distributivité
- Formule : `(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd`
- Exemple : `(2+5x)(x+4) = 2x + 8 + 5x² + 20x`
- Exercices
- `A = (2x + 3)(x + 8) = 2x² + 19x + 24`
- `B = (−3 + x)(4 – 5x) = -5x² + 19x – 12`
- `C = 2(3 + x)(3 – 2x) = -4x² - 6x + 18`
- `D = 2x(1 − x) − (x − 3)(3x + 2) = -5x² + 9x + 6`
## Factorisation
### Facteur commun simple
- Méthode : identifier et réduire
- Exercices
- `A = 3,5x - 4,2x + 2,1x = 1,4x`
- `B = 4t - 5tx + 3t = t(7 - 5x)`
- `C = 4x - 4y + 8 = 4(x - y + 2)`
- `D = x² + 3x - 5x² = x(-4x + 3)`
- `E = 3t + 9u + 3 = 3(t + 3u + 1)`
- `F = 3x² - x = x(3x - 1)`
### Facteur commun apparent
- Méthode : réécriture si nécessaire
- Exercices
- `A = 3(2 + 3x) - (5 + 2x)(2 + 3x) = (2 + 3x)(-2 - 2x)`
- `B = (2 – 5x)² - (2 – 5x)(1 + x) = (2 - 5x)(1 - 6x)`
- `C = 5(1-2x) - (4 + 3x)(2x – 1) = (1 - 2x)(9 + 3x)`
## Identités remarquables
- Propriétés
- `(a + b)² = a² + 2ab + b²`
- `(a - b)² = a² - 2ab + b²`
- `(a + b)(a - b) = a² - b²`
- Exemples de développement
- `(x + 3)² = x² + 6x + 9`
- `(x - 5)² = x² - 10x + 25`
- `(2x - 1)(2x + 1) = 4x² - 1`
### Développement avec IR
- Exercices
- `A = (x + 3)² = x² + 6x + 9`
- `B = (3x - 4)² = 9x² - 24x + 16`
- `C = (x − 3)(x + 3) = x² − 9`
- `D = (2x + 3)(2x − 3) = 4x² − 9`
- `E = (4 – 3x)(3x + 4) = 16 – 9x²`
- Développement et réduction
- `A = (2x - 3)² + (x + 5)(3 - x) = 3x² - 14x + 24`
- `B = (x - 3)(x + 3) - (4 – 3x)² = -8x² + 24x - 25`
- `C = 2(x + 3) + (2x + 3)(2x – 3) = 4x² + 2x - 3`
### Factorisation avec IR
- Méthode 1 : identifier `a² ± 2ab + b²`
- `A = x² - 2x + 1 = (x - 1)²`
- `B = 4x² + 12x + 9 = (2x + 3)²`
- `C = 9x² - 4 = (3x - 2)(3x + 2)`
- `D = 25 + 16x² - 40x = (5 - 4x)²`
- `E = 1 - 49x² = (1 - 7x)(1 + 7x)`
- Méthode 2 : facteur apparent
- `A = (2x + 3)² – 64 = (2x - 5)(2x + 11)`
- `B = 1 − (2 - 5x)² = (-1 + 5x)(3 - 5x)`{
"questions": [
{
"question": "Quelle opération transforme un produit en somme ?",
"options": [
{
"text": "Factorisation",
"why": "La factorisation est l'opération inverse, elle transforme une somme en produit.",
"correct": false
},
{
"text": "Développement",
"why": "Le développement consiste bien à transformer un produit en somme, comme défini dans le texte.",
"correct": true
},
{
"text": "Réduction",
"why": "La réduction consiste à simplifier une expression, mais ne transforme pas spécifiquement un produit en somme.",
"correct": false
},
{
"text": "Distributivité",
"why": "La distributivité est une méthode utilisée pour développer, mais ce n'est pas l'opération générale qui transforme un produit en somme.",
"correct": false
}
]
},
{
"question": "Quel est le résultat du développement de $6(x + 5)$ ?",
"options": [
{
"text": "$6x + 5$",
"why": "Cette réponse oublie de distribuer le 6 sur le 5, ce qui est incorrect.",
"correct": false
},
{
"text": "$6x + 30$",
"why": "En appliquant la distributivité simple, $6(x + 5) = 6x + 30$.",
"correct": true
},
{
"text": "$6x + 6$",
"why": "Cette réponse est incorrecte car elle ne multiplie pas correctement 6 par 5.",
"correct": false
},
{
"text": "$30x$",
"why": "Cette réponse confond la multiplication des termes et est incorrecte.",
"correct": false
}
]
},
{
"question": "Quelle est la formule de la double-distributivité ?",
"options": [
{
"text": "$a(b + c) = ab + ac$",
"why": "C'est la formule de la distributivité simple, pas de la double-distributivité.",
"correct": false
},
{
"text": "$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$",
"why": "C'est la formule correcte de la double-distributivité.",
"correct": true
},
{
"text": "$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$",
"why": "C'est une identité remarquable, pas la formule de la double-distributivité.",
"correct": false
},
{
"text": "$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$",
"why": "C'est une identité remarquable, pas la formule de la double-distributivité.",
"correct": false
}
]
},
{
"question": "Quel est le développement de $(2x + 3)(x + 8)$ ?",
"options": [
{
"text": "$2x^2 + 16x + 3x + 24$",
"why": "Cette réponse n'est pas réduite. Le résultat final doit être $2x^2 + 19x + 24$.",
"correct": false
},
{
"text": "$2x^2 + 19x + 24$",
"why": "En appliquant la double-distributivité et en réduisant, on obtient bien $2x^2 + 19x + 24$.",
"correct": true
},
{
"text": "$2x^2 + 11x + 24$",
"why": "Cette réponse contient une erreur dans le calcul du terme en $x$.",
"correct": false
},
{
"text": "$3x^2 + 19x + 24$",
"why": "Cette réponse contient une erreur dans le terme en $x^2$.",
"correct": false
}
]
},
{
"question": "Quel est le facteur commun dans l'expression $4t - 5tx + 3t$ ?",
"options": [
{
"text": "$4$",
"why": "$4$ n'est pas un facteur commun à tous les termes de l'expression.",
"correct": false
},
{
"text": "$t$",
"why": "$t$ est bien le facteur commun à tous les termes de l'expression.",
"correct": true
},
{
"text": "$5x$",
"why": "$5x$ n'est pas un facteur commun dans tous les termes.",
"correct": false
},
{
"text": "$-5tx$",
"why": "$-5tx$ n'est pas un facteur commun à tous les termes.",
"correct": false
}
]
},
{
"question": "Quel est le résultat de la factorisation de $4x - 4y + 8$ ?",
"options": [
{
"text": "$4(x - y)$",
"why": "Cette réponse oublie le terme constant $+8$ dans la factorisation.",
"correct": false
},
{
"text": "$4(x - y + 2)$",
"why": "En factorisant par $4$, on obtient bien $4(x - y + 2)$.",
"correct": true
},
{
"text": "$4x(1 - y + 2)$",
"why": "Cette réponse est incorrecte car elle ne factorise pas correctement.",
"correct": false
},
{
"text": "$x - y + 2$",
"why": "Cette réponse oublie le facteur commun $4$.",
"correct": false
}
]
},
{
"question": "Quelle est la forme factorisée de $3(2 + 3x) - (5 + 2x)(2 + 3x)$ ?",
"options": [
{
"text": "$(2 + 3x)(3 - 5 - 2x)$",
"why": "Cette réponse n'est pas réduite. Le résultat final doit être $(2 + 3x)(-2 - 2x)$.",
"correct": false
},
{
"text": "$(2 + 3x)(-2 - 2x)$",
"why": "En factorisant par $(2 + 3x)$, on obtient bien $(2 + 3x)(-2 - 2x)$ après réduction.",
"correct": true
},
{
"text": "$(2 + 3x)(-5x + 1)$",
"why": "Cette réponse contient une erreur dans la réduction des termes.",
"correct": false
},
{
"text": "$(2 + 3x)(8 + x)$",
"why": "Cette réponse est incorrecte car elle ne respecte pas la réduction des termes.",
"correct": false
}
]
},
{
"question": "Quelle identité remarquable correspond à $(a + b)^2$ ?",
"options": [
{
"text": "$a^2 - 2ab + b^2$",
"why": "C'est l'identité remarquable pour $(a - b)^2$, pas pour $(a + b)^2$.",
"correct": false
},
{
"text": "$a^2 + 2ab + b^2$",
"why": "C'est bien l'identité remarquable pour $(a + b)^2$.",
"correct": true
},
{
"text": "$a^2 - b^2$",
"why": "C'est l'identité remarquable pour $(a - b)(a + b)$, pas pour $(a + b)^2$.",
"correct": false
},
{
"text": "$a^2 + b^2$",
"why": "Cette expression ne correspond à aucune identité remarquable standard.",
"correct": false
}
]
},
{
"question": "Quel est le développement de $(x + 3)^2$ ?",
"options": [
{
"text": "$x^2 + 3x + 9$",
"why": "Cette réponse oublie le terme $2ab$ dans l'identité remarquable $(a + b)^2$.",
"correct": false
},
{
"text": "$x^2 + 6x + 9$",
"why": "En appliquant l'identité remarquable $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, on obtient bien $x^2 + 6x + 9$.",
"correct": true
},
{
"text": "$x^2 + 9$",
"why": "Cette réponse oublie les termes en $x$ et $x^2$.",
"correct": false
},
{
"text": "$x^2 + 3 + 9$",
"why": "Cette réponse est incorrecte car elle ne respecte pas l'identité remarquable.",
"correct": false
}
]
},
{
"question": "Quel est le résultat de la factorisation de $x^2 - 2x + 1$ ?",
"options": [
{
"text": "$(x - 2)^2$",
"why": "Cette réponse est incorrecte car elle ne correspond pas à l'identité remarquable appliquée.",
"correct": false
},
{
"text": "$(x - 1)^2$",
"why": "En appliquant l'identité remarquable $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, on obtient bien $(x - 1)^2$.",
"correct": true
},
{
"text": "$(x + 1)^2$",
"why": "Cette réponse est incorrecte car elle ne respecte pas le signe du terme central.",
"correct": false
},
{
"text": "$x(x - 2 + 1/x)$",
"why": "Cette réponse ne respecte pas les règles de factorisation des identités remarquables.",
"correct": false
}
]
},
{
"question": "Quel est le résultat du développement de $(2x - 3)^2 + (x + 5)(3 - x)$ ?",
"options": [
{
"text": "$4x^2 - 12x + 9 - x^2 + 2x + 15$",
"why": "Cette réponse n'est pas réduite. Le résultat final est $3x^2 - 14x + 24$.",
"correct": false
},
{
"text": "$3x^2 - 14x + 24$",
"why": "En développant et réduisant, on obtient bien $3x^2 - 14x + 24$.",
"correct": true
},
{
"text": "$3x^2 + 14x + 24$",
"why": "Cette réponse contient une erreur de signe dans le terme en $x$.",
"correct": false
},
{
"text": "$4x^2 - 14x + 24$",
"why": "Cette réponse contient une erreur dans le terme en $x^2$.",
"correct": false
}
]
},
{
"question": "Quelle est la forme factorisée de $25 + 16x^2 - 40x$ ?",
"options": [
{
"text": "$(5 - 4x)^2$",
"why": "En appliquant l'identité remarquable $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, on obtient bien $(5 - 4x)^2$.",
"correct": true
},
{
"text": "$(5 + 4x)^2$",
"why": "Cette réponse ne respecte pas le signe du terme central $-40x$.",
"correct": false
},
{
"text": "$(25 - 4x)(25 + 4x)$",
"why": "Cette réponse ne correspond pas à l'identité remarquable appliquée.",
"correct": false
},
{
"text": "$(5 - 8x)^2$",
"why": "Cette réponse contient une erreur dans l'identification des termes $a$ et $b$.",
"correct": false
}
]
},
{
"question": "Quel est le développement de $(4 - 3x)(3x + 4)$ ?",
"options": [
{
"text": "$16 - 9x^2$",
"why": "En appliquant l'identité remarquable $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, on obtient bien $16 - 9x^2$.",
"correct": true
},
{
"text": "$16 + 9x^2$",
"why": "Cette réponse contient une erreur de signe dans le terme en $x^2$.",
"correct": false
},
{
"text": "$12x - 12x^2 + 16$",
"why": "Cette réponse ne respecte pas l'identité remarquable appliquée.",
"correct": false
},
{
"text": "$16 - 12x + 9x^2$",
"why": "Cette réponse est incorrecte car elle ne respecte pas l'identité remarquable $(a - b)(a + b)$.",
"correct": false
}
]
},
{
"question": "Quel est le résultat de la factorisation de $1 - (2 - 5x)^2$ ?",
"options": [
{
"text": "$(1 - 2 + 5x)(1 + 2 - 5x)$",
"why": "Cette réponse n'est pas réduite. Le résultat final doit être $(-1 + 5x)(3 - 5x)$.",
"correct": false
},
{
"text": "$(-1 + 5x)(3 - 5x)$",
"why": "En appliquant l'identité remarquable $1^2 - (2 - 5x)^2$, on obtient bien $(-1 + 5x)(3 - 5x)$ après réduction.",
"correct": true
},
{
"text": "$(5x - 1)(5x + 1)$",
"why": "Cette réponse ne respecte pas l'identité remarquable appliquée.",
"correct": false
},
{
"text": "$(1 + 2 - 5x)(1 - 2 + 5x)$",
"why": "Cette réponse est incorrecte car elle ne respecte pas la réduction des termes.",
"correct": false
}
]
},
{
"question": "Quel est le résultat du développement de $-6(-2x + 4)$ ?",
"options": [
{
"text": "$12x + 24$",
"why": "Cette réponse contient une erreur de signe dans le terme constant.",
"correct": false
},
{
"text": "$12x - 24$",
"why": "En appliquant la distributivité, $-6(-2x + 4) = 12x - 24$.",
"correct": true
},
{
"text": "$-12x + 24$",
"why": "Cette réponse contient une erreur de signe dans le terme en $x$.",
"correct": false
},
{
"text": "$-12x - 24$",
"why": "Cette réponse contient des erreurs de signe dans les deux termes.",
"correct": false
}
]
},
{
"question": "Quel est le résultat de la factorisation de $x^2 + 3x - 5x^2$ ?",
"options": [
{
"text": "$x(-4x + 3)$",
"why": "En factorisant par $x$, on obtient bien $x(-4x + 3)$ après réduction.",
"correct": true
},
{
"text": "$x(x + 3 - 5)$",
"why": "Cette réponse n'est pas réduite. Le résultat final doit être $x(-4x + 3)$.",
"correct": false
},
{
"text": "$-4x^2 + 3x$",
"why": "Cette réponse n'est pas sous forme factorisée.",
"correct": false
},
{
"text": "$x^2(1 + 3/x - 5)$",
"why": "Cette réponse ne respecte pas les règles de factorisation.",
"correct": false
}
]
},
{
"question": "Quelle est la règle des signes pour la multiplication suivante : $+ * -$ ?",
"options": [
{
"text": "$+$",
"why": "Le produit d'un positif et d'un négatif est négatif, pas positif.",
"correct": false
},
{
"text": "$-$",
"why": "Le produit d'un positif et d'un négatif est bien négatif.",
"correct": true
},
{
"text": "$0$",
"why": "Le produit de deux nombres non nuls ne peut pas être nul.",
"correct": false
},
{
"text": "Indéterminé",
"why": "La règle des signes pour $+ * -$ est bien déterminée et donne un résultat négatif.",
"correct": false
}
]
},
{
"question": "Quel est le développement de $2(3 + x)(3 - 2x)$ ?",
"options": [
{
"text": "$-4x^2 - 6x + 18$",
"why": "En développant et réduisant, on obtient bien $-4x^2 - 6x + 18$.",
"correct": true
},
{
"text": "$-4x^2 + 6x + 18$",
"why": "Cette réponse contient une erreur de signe dans le terme en $x$.",
"correct": false
},
{
"text": "$4x^2 - 6x + 18$",
"why": "Cette réponse contient une erreur de signe dans le terme en $x^2$.",
"correct": false
},
{
"text": "$-4x^2 - 6x - 18$",
"why": "Cette réponse contient une erreur de signe dans le terme constant.",
"correct": false
}
]
},
{
"question": "Quel est le résultat de la factorisation de $5(1 - 2x) - (4 + 3x)(2x - 1)$ après réécriture ?",
"options": [
{
"text": "$(1 - 2x)(9 + 3x)$",
"why": "En réécrivant $(2x - 1)$ comme $-(1 - 2x)$ et en factorisant, on obtient bien $(1 - 2x)(9 + 3x)$.",
"correct": true
},
{
"text": "$(1 - 2x)(5 + 4 + 3x)$",
"why": "Cette réponse n'est pas réduite. Le résultat final doit être $(1 - 2x)(9 + 3x)$.",
"correct": false
},
{
"text": "$(2x - 1)(9 + 3x)$",
"why": "Cette réponse ne respecte pas la réécriture initiale de $(2x - 1)$ en $-(1 - 2x)$.",
"correct": false
},
{
"text": "$(1 - 2x)(1 + 3x)$",
"why": "Cette réponse contient une erreur dans la réduction des termes constants.",
"correct": false
}
]
},
{
"question": "Quel est le développement de $2x(1 - x) - (x - 3)(3x + 2)$ ?",
"options": [
{
"text": "$-5x^2 + 9x + 6$",
"why": "En développant et réduisant, on obtient bien $-5x^2 + 9x + 6$.",
"correct": true
},
{
"text": "$-5x^2 + 9x - 6$",
"why": "Cette réponse contient une erreur de signe dans le terme constant.",
"correct": false
},
{
"text": "$5x^2 + 9x + 6$",
"why": "Cette réponse contient une erreur de signe dans le terme en $x^2$.",
"correct": false
},
{
"text": "$-5x^2 - 9x + 6$",
"why": "Cette réponse contient une erreur de signe dans le terme en $x$.",
"correct": false
}
]
},
{
"question": "Quel est le résultat du développement de $(3x - 4)^2$ ?",
"options": [
{
"text": "$9x^2 - 12x + 16$",
"why": "Cette réponse oublie le terme $2ab$ dans l'identité remarquable $(a - b)^2$.",
"correct": false
},
{
"text": "$9x^2 - 24x + 16$",
"why": "En appliquant l'identité remarquable $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, on obtient bien $9x^2 - 24x + 16$.",
"correct": true
},
{
"text": "$9x^2 + 24x + 16$",
"why": "Cette réponse contient une erreur de signe dans le terme en $x$.",
"correct": false
},
{
"text": "$9x^2 - 16$",
"why": "Cette réponse oublie les termes en $x$ et $x^2$.",
"correct": false
}
]
},
{
"question": "Quel est le résultat de la factorisation de $9x^2 - 4$ ?",
"options": [
{
"text": "$(3x - 2)^2$",
"why": "Cette réponse ne respecte pas l'identité remarquable appliquée, qui est $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.",
"correct": false
},
{
"text": "$(3x - 2)(3x + 2)$",
"why": "En appliquant l'identité remarquable $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, on obtient bien $(3x - 2)(3x + 2)$.",
"correct": true
},
{
"text": "$(9x - 4)(x)$",
"why": "Cette réponse ne respecte pas les règles de factorisation des identités remarquables.",
"correct": false
},
{
"text": "$3x(3x - 4/3)$",
"why": "Cette réponse ne respecte pas l'identité remarquable appliquée.",
"correct": false
}
]
},
{
"question": "Quel est le résultat du développement de $(x - 3)(x + 3) - (4 - 3x)^2$ ?",
"options": [
{
"text": "$-8x^2 + 24x - 25$",
"why": "En développant et réduisant, on obtient bien $-8x^2 + 24x - 25$.",
"correct": true
},
{
"text": "$-8x^2 - 24x - 25$",
"why": "Cette réponse contient une erreur de signe dans le terme en $x$.",
"correct": false
},
{
"text": "$8x^2 + 24x - 25$",
"why": "Cette réponse contient une erreur de signe dans le terme en $x^2$.",
"correct": false
},
{
"text": "$-8x^2 + 24x + 25$",
"why": "Cette réponse contient une erreur de signe dans le terme constant.",
"correct": false
}
]
},
{
"question": "Quel est le développement de $2(x + 3) + (2x + 3)(2x - 3)$ ?",
"options": [
{
"text": "$4x^2 + 2x - 3$",
"why": "En développant et réduisant, on obtient bien $4x^2 + 2x - 3$.",
"correct": true
},
{
"text": "$4x^2 + 2x + 3$",
"why": "Cette réponse contient une erreur de signe dans le terme constant.",
"correct": false
},
{
"text": "$4x^2 - 2x - 3$",
"why": "Cette réponse contient une erreur de signe dans le terme en $x$.",
"correct": false
},
{
"text": "$2x^2 + 2x - 3$",
"why": "Cette réponse contient une erreur dans le terme en $x^2$.",
"correct": false
}
]
}
]
}