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Systèmes d'unités CGS et MKS

2 générations
Résumé

Le système d'unités comprend des unités fondamentales (longueur, masse, temps) et des unités dérivées. Les systèmes CGS (cm, gramme, seconde) et MKS (mètre, kilogramme, seconde, aussi appelé SI) sont les plus utilisés. Des unités hors systèmes existent comme le degré ou le radian. L'équation aux dimensions exprime les grandeurs dérivées en fonction de L, M, T (vitesse: LT⁻¹, accélération: LT⁻², force: MLT⁻², travail: ML²T⁻²). Le changement d'unités utilise ces équations pour les facteurs de conversion. L'homogénéité, condition nécessaire mais non suffisante, stipule que les deux membres d'une équation doivent avoir les mêmes dimensions. Le calcul des petites variations (δ) permet de déterminer les incertitudes. Pour une grandeur A = K xᵐ yⁿ zᵖ, l'incertitude relative ∆A/A est la somme des incertitudes relatives pondérées : ∆A/A = m(∆x/x) + n(∆y/y) + p(∆z/z). L'incertitude absolue est ∆A = α A₀, où α est la limite supérieure de l'erreur relative.

Les forces sont reconnues par leurs effets (déformations, changement de vitesse) et décrites par des vecteurs (direction, sens, module, point d'application). L'addition des forces se fait par somme vectorielle (résultante R⃗). La décomposition des forces nécessite une réalité physique. L'unité de force est le Newton (N), avec une équation aux dimensions [M][L][T]⁻². Les quatre interactions fondamentales sont : forte (cohésion des noyaux, courte portée), électromagnétique (particules chargées, portée infinie), faible (radioactivité β, très courte portée), gravitationnelle (cohésion de l'univers, portée infinie). Le poids est une force gravitationnelle, distincte de la masse qui est une propriété intrinsèque.

Les lois de Newton :

  1. Loi d'inertie : ∑F⃗ = 0 ⇒ a⃗ = 0 (repos ou mouvement rectiligne uniforme).
  2. Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) : ∑F⃗ = m a⃗.
  3. Loi d'action-réaction : F⃗₁₂ = -F⃗₂₁. L'équilibre d'un point matériel requiert ∑F⃗ = 0 et une vitesse initiale nulle.

La quantité de mouvement est p⃗ = m v⃗. Le PFD peut s'énoncer comme dp⃗/dt = F⃗. Le moment cinétique L⃗ = OM⃗ × m v⃗. Sa variation est dL⃗/dt = τ⃗O, moment de la résultante des forces par rapport à O. Pour une force centrale, L⃗ se conserve. Le théorème de l'énergie cinétique stipule que le travail WAB = ∆Ec. L'énergie potentielle Ep est liée à une force conservative par F⃗ = -grad Ep. Le travail WAB = -∆Ep. L'énergie mécanique Em = Ec + Ep se conserve si le système n'est soumis qu'à des forces conservatives.

Le moment d'inertie I d'un solide par rapport à un axe est I = mr² pour un point matériel. Le théorème de Huyghens relie le moment d'inertie par rapport à un axe Δ (IΔ) à celui par rapport à un axe parallèle passant par le centre de masse IG : IΔ = IG + Md².

En optique géométrique, les grandeurs sont algébriques. La lumière est une onde électromagnétique avec une vitesse c dans le vide (≈ 3.10⁸ m/s) et une longueur d'onde λ₀ = c/ν. L'indice n d'un milieu est n = c/v ≥ 1, et λ = λ₀/n. La dispersion est la dépendance de n avec la fréquence, causant la décomposition de la lumière blanche. L'absorption est la diminution de l'intensité lumineuse. La formule de Cauchy n(λ₀) = A + B/λ₀² décrit souvent l'indice. La lumière peut être décrite par des rayons lumineux (λ << D), des ondes (λ ≈ D), ou des photons (λ >> D). Le premier principe de l'optique géométrique stipule que la lumière se propage en ligne droite dans un milieu homogène et isotrope.

Les lois de Snell-Descartes régissent la réflexion (i' = -i) et la réfraction (n₁ sin i = n₂ sin r). Le principe du retour inverse de la lumière s'applique. La réflexion totale survient lorsque n₂ < n₁ et sin i ≥ n₂/n₁. Une source primaire émet de la lumière (Soleil, laser), une source secondaire la réémet (Lune). Un prisme dévie et disperse la lumière. L'angle de déviation D = i + i' - A. Le minimum de déviation Dm permet de calculer l'indice du prisme. Un système optique est un ensemble de dioptres. Un système centré a ses dioptres de révolution autour d'un même axe. Un objet ponctuel A donne une image ponctuelle A' (stigmatisme). Les conditions de Gauss s'appliquent aux rayons paraxiaux (peu inclinés et proches de l'axe). Les foyers objet (F) et image (F') sont définis par les rayons parallèles à l'axe. Le grandissement transversal γ = A'B'/AB = p'/p.

Un miroir plan donne une image virtuelle, symétrique. Un dioptre sphérique est à la base des lentilles. Une lentille mince est convergente si elle est à bord mince (f' > 0) et divergente si elle est à bord épais (f' < 0). La vergence V = 1/f' = (n-1)(1/R1 + 1/R2). Les formules de conjugaison de Descartes sont 1/P' - 1/P = 1/f' = V. La formule de Newton est FA * FA' = -f². L'œil humain utilise le cristallin (lentille biconvexe) pour former une image sur la rétine. L'accommodation permet de modifier la distance focale. Le punctum proximum (PP) est le point le plus proche, le punctum remotum (PR) le point le plus éloigné. Un œil normal (emmétrope) a son PR à l'infini. L'œil myope est trop convergent (image formée en avant de la rétine), l'œil hypermétrope pas assez (image formée derrière la rétine). La presbytie est une perte d'accommodation. Les instruments d'optique (loupe, microscope, télescope) grossissent les objets et forment souvent une image à l'infini pour le repos de l'œil.